Будет рассказано о том, что во множестве корней многочлена $f(x)=\sigma_1x^{10}-\sigma_3x^8+\sigma_5x^6-\sigma_7x^4+\sigma_9x^2-\sigma_{11}$ существует не менее трех линейно независимых над $\mathbb{Q}$ элементов. Тем самым гипотеза~1 из работы Л.\,В.~Локуциевского и М.\,И.~Зеликина решается положительно при $n\in\{4,\,6\}$. При $n=4$ выполнена ''сильная'' версия гипотезы~1: ровно 3 корня соответствующего многочлена степени 6 линейно независимы над $\mathbb{Q}$.