Двумерная задача Хеле-Шоу для жидкости со свободной границей может быть решена с помощью уравнения Полубариновой-Галина. Главное условие его применимости -- гладкость границы пятна жидкости. Однако, даже в случае одного стока, эта проблема не корректна и граница теряет гладкость в течение конечного времени. Единственным исключением является идеальный диск со стоком в центре. Обширная литература имеет дело с изучением проблемы Хеле-Шоу с негладкой границей или с учетом поверхностного натяжения, но проблема, фактически, остается открытой. В нашей работе, мы предлагаем изучать поток Хеле-Шоу с точки зрения теории управления, с помощью введения аналога понятия мультиполя (термин взят из теории электромагнитных полей). Это позволяет нам контролировать форму пятна жидкости и избегать появления точек негладкости на его границе. Для любых полиномиальных контуров, мы предъявляем явный способ, каким образом можно извлечь всю жидкость, в то время как граница пятна остается гладкой до самого конца. Мы находим, в частности, достаточные условия управляемости и связь между моментами Ричардсона и уравнениями в обобщенном уравнении Полубариновой-Галина.