Интервальным отображением называется динамическая система с дискретным временем вида $x_{n+1}=f(x_n,\mu)$, где $x_n\in\mathbb R$, а функция $f$ является непрерывной относительно аргументов $x$ и $\mu$. Если функция $f$ не является монотонной, то соответствующая динамическая система может обладать весьма богатой динамикой (наличие дискретных циклов различных периодов, хаотической динамики). Для ее теоретического описания применяется в частности аппарат символической динамики. В данном докладе мы представим некоторые утверждения, касающиеся символической динамики интервальных отображений с несколькими экстремумами.

В работах Kai T Hansen был рассмотрен новый класс полимодальных отображений, предложенный им для качественного объяснения динамики двумерных обратимых отображений подобных отображению Хенона. В докладе мы рассмотрим вопрос непрерывной реализации данного типа отображений.

Нами было произведено сопоставление бифуркационных диаграмм (методами численного анализа) указанных выше отображений, модельного двумерного отображения (отображения Хенона) и одной модельной двумерной неавтономной системы дифференциальных уравнений с периодической правой частью. Было продемонстрировано качественное сходство полученных диаграмм. На основе этого мы формулируем некоторые гипотезы относительно возможности аппроксимации двумерных обратимых отображений и трехмерных фазовых потоков одномерными полимодальными отображениями.

Помимо этого мы коснемся вопросов сопоставления полученных результатов с результатами работ Р.Гиллмора посвященных т.н. «темплейтам» - двумерным многообразиям с краем и склейкой, на которых, согласно его предположению, могут быть без пересечений и самопересечений расположены все периодические траектории хаотических трехмерных фазовых потоков с гиперболическими аттракторами.