Последнее время активно изучаются геодезические левоинвариантных субримановых задач на нильпотентных группах Ли и, в частности, на группах Карно. Основным инструментом исследования таких задач является принцип максимума Понтрягина и необходимые условия второго порядка типа условия Гоха. Высокий интерес к этим задачам связан, в первую очередь, с классической теоремой Громова о нильпотентизации, которая утверждает, что метрика в окрестности точки в произвольной субримановой задаче приближается левоинвариантной субримановой метрикой на группе Карно $\mathfrak{G}$, отвечающей нильпотентному касательному конусу $\mathfrak{g}$ в этой точке. Подробно исследуются поля геодезических на группах Карно, их локальная и глобальная оптимальность, особенности сфер и многое другое.

Каждая такая задача имеет две наиболее важных целых характеристики: число образующих в алгебре Ли $\mathfrak{g}$ и ее глубина (максимальная длина отличной от 0 скобки в $\mathfrak{g}$). Оказывается, что задачи одинаковой глубины часто имеют сходную природу. Так, например, все задачи глубины 1 тривиальны. Во всех задачах глубины 2 анормальные траектории неоптимальны, а геодезический поток интегрируется в элементарных функциях. В задачах глубины 3 некоторые анормальные траектории, наоборот, оптимальны (но не строго анормальны), а геодезический поток интегрируется уже в эллиптических функциях Якоби.

Классически, исследование любой левоинвариантной субримановой задачи начинается с интегрирования геодезического потока, так как явные формулы для геодезических являются отправной точкой для всех дальнейших вычислений (например, уравнения Якоби для сопряженных точек или симметрии для точек Максвелла). На докладе планируется обсудить новый результат, касающийся субримановой задачи на простейшей свободной группе Карно глубины 4. Данная группа имеет вектор роста (2,3,5,8). Нам (совместно с Ю.Л. Сачковым) удалось доказать, что гамильтонова система геодезического потока в этой задаче является неинтегрируемой по Лиувиллю. Доказательство основано на очень красивом и простом методе Мельникова-Пуанкаре, о котором я также планирую рассказать на семинаре.

Этот результат, по-видимому, доказывает невозможность изучения по стандартной схеме субримановых задач на свободных группах Карно глубины 4 и больше. В том числе, теряется надежда на получение какой-либо информации об общих субримановых задачах глубины 4 и больше с помощью теоремы Громова.