Доклад посвящен условиям второго порядка для ломаных экстремалей в задачах вариационного исчисления и для разрывных управлений в задачах оптимального управления. Характерная черта обсуждаемых условий – отсутствие зазора между необходимыми и достаточными условиями. Условия формулируются в виде знакоопределенности квадратичной формы на так называемом критическом конусе. В первой части доклада формулируются квадратичные условия для ломаных экстремалей в простейшей задаче вариационного исчисления. Во второй - рассматривается задача оптимального управления с регулярными смешанными ограничениями на фазовую переменную и управление, и для нее формулируются необходимые квадратичные условия сильного минимума в случае кусочно-непрерывного управления. Третья часть доклада посвящена достаточным квадратичным условиям сильного минимума для разрывного управления в той же задаче. В конце доклада в качестве примера исследуется обобщенная (двумерная) изопериметрическая задача, у которой годограф скорости не является строго выпуклым. Наличие прямолинейных отрезков на границе овыпукления годографа приводит к разрыву управления у каждой экстремали. Рассказывается об исследовании квадратичной формы этой задачи, в результате которого устанавливается весьма нетривиальный характер минимума в случае однообходной экстремали, а также устанавливается неоптимальность многообходных.