В докладе будут рассматриваться необходимые условия для задачи оптимального управления на неограниченном промежутке со свободным правым концом. Примененный на конечных промежутках принцип максимума Л.С.Понтрягина дает для таких задач систему соотношений, необходимых для оптимальности, но без краевого условия на правом конце, что зачастую приводит к излишне широкому множеству решающих эту систему экстремалей. Для уменьшения перебора были предложены самые разные краевые условия, однако каждое из них становится необходимым для оптимальности условием лишь при дополнительных предположениях на асимптотики траекторий, целевой функции, функции цены, сопряженных переменных и/или каких-либо их производных.

В ходе доклада, для слабо обгоняющего (weakly overtaking) критерия оптимальности, будет предъявлено краевое условие для сопряженной системы, совместимое с принципом максимума вне зависимости от каких-либо асимптотических предположений. Для линейной системы будет показано, что среди всех необходимых условий на сопряженную переменную, совместимых с принципом максимума,предложенное необходимое условие выделяет минимальное множество экстремалей. Будут показаны асимптотические предположения, гарантирующие единственность сопряженной переменной, удовлетворяющей этому условию; в частности, будет указана связь с явной формулой, предложенной для таких задач С.М.Асеевым и А.В Кряжимским. Планируется также обсудить соответствующее краевое условие для задач управления с терминальным ограничением на бесконечности, а затем применить полученное условие к решению задачи Рамсея.