Рассматривается управляемая система ОДУ с нефиксированным временем и для нее вводится понятие локальной управляемости относительно функции, которая, вообще говоря, не является допустимой траекторией для этой системы. Основной результат достаточные условия локальной управляемости такой системы относительно данной функции. В качестве непосредственного следствия этого результата, в задаче оптимального быстродействия, выводятся необходимые условия для локального инфимума понятия, обобщающего понятие оптимальной траектории. Приводятсяусловия существования локального инфимума, которые значительно слабее условий существования оптимальной траектории. Необходимые условия локального инфимума представляют, по форме, некоторое семейство принципов максимума. Если локальный инфимум является, в частности, оптимальной траекторией, то это семейство содержит в себе классический принцип максимума Понтрягина, а также и другие соотношения, которые, вообще говоря, дают дополнительную информацию об оптимальном процессе и тем самым, как показывают примеры, усиливают принцип максимума Понтрягина для данной задачи.

Если локальный инфимум не является оптимальной траекторией, то эти необходимые условия представляют собой инструмент для нахождения траекторий, подозрительных на локальный инфимум, который применяется во многом также как принцип максимума Понтрягина для нахождения процессов, подозрительных на оптимальность.