Лоренцева структура на гладком многообразии размерности n задается невырожденной квадратичной формой сигнатуры (1,n), гладко зависящей от точки многообразия. В каждом касательном пространстве эта квадратичная форма задает конус, половина которого называется конусом будущего (замкнутый выпуклый конус), а другая --- прошлого. Допустимые скорости лежат в конусе будущего, а их длина определяется квадратичной формой.

Сущетствует ли длиннейшая кривая, соединяющая заданные точки? Обычные рассуждения здесь не срабатывают, так как множество допустимых скоростей не компактно, а подынтегральная функция функционала качества вогнута. Ответ на этот вопрос дается единым образом для лоренцевой и сублоренцевой геометрии (и даже в более общей ситуации). Условия существования длиннейшей формулируются в терминах каузальной структуры (1-формы на многообразии, определяющей конусы будущего).

Будут разобраны некоторые примеры.