Слабая КАМ теория возникла как попытка описать решения задачи вариационного исчисления на больших промежутках времени. Она ставит перед собой цель нахождения функции \(\phi : M \to \mathbb{R}\) и константы \(\bar{H}\) таких, что решение задачи вариационного исчисления

минимизировать
\[
\phi(x(T)) + \int_0^T L(x(t), \dot{x}(t))dt
\]

при условии \(x(0) = y\) на произвольном интервале \([0,T]\) есть \(\phi(y) - \bar{H}T\). Здесь величину \(\bar{H}\) называют эффективным гамильтонианом или показателем Манэ. В рамках слабой КАМ теории показывается, что функция \(\phi\) и константа \(\bar{H}\) удовлетворяют в вязкостном смысле уравнению типа Гамильтона-Якоби
\[
H(x, -\nabla\phi) = -\bar{H},
\]
где \(H\) --- гамильтониан:
\[
H(x, p) = \max_{v \in T_x M} [p \cdot v - L(x,v)].
\]
Отметим, что в этом случае решение задачи вариационного исчисления

минимизировать
\[
\frac{1}{T} \int_0^T L(x(t), \dot{x}(t))dt
\]

сходится к \(\bar{H}\) при \(T \to \infty\).

Слабая КАМ теория изначально развивалась в предположении о гладкости и коэрцитивности лагранжиана \(L\). В то же время слабое КАМ уравнение ГЯ имеет решение на торе в случае, когда \(L\) не обладает условием гладкости.

В связи с этим интересным представляется развить элементы слабой КАМ теории в случае негладкого лагранжиана, основываясь на вязкостном решении слабого КАМ уравнения ГЯ. Этому вопросу и посвящен доклад. При этом мы широко используем метод сдвига вдоль проксимального субградиента, предложенный Ф. Кларком, Ю.С. Ледяевым и А.И. Субботиным.