В докладе рассматриваются задачи оптимального импульсного управления, возникающие как релаксационные (импульсно-траекторные) расширения вырожденных задач. Основное внимание уделяется проблеме описания обобщенных решений для управляемых систем с аффинной по управлению правой частью в двух принципиально различных ситуациях.

1) Наличие равномерного ограничения на $L_1$-норму управления.
В этом случае обобщенные траектории имеют ограниченную полную вариацию и естественным образом интерпретируются как отклики системы на импульсные воздействия, моделируемые ограниченными борелевскими мерами. Рассматриваются различные подходы к замыканию множества решений в топологиях, более слабых, чем топология равномерной сходимости. В частности, обсуждается наиболее известное в литературе замыкание в слабой* топологии в пространстве функций ограниченной вариации.

2) Отсутствие равномерного ограничения на $L_1$-норму управления.
Для этого случая известны частичные результаты, касающиеся описания обобщенных решений из класса интегрируемых по Лебегу функций и импульсных управлений, определяемых обобщенными функциями (распределениями). Такие описания возможны при дополнительных предположениях, обеспечивающих корректность перехода к импульсным режимам - например, при выполнении условия коммутативности типа Фробениуса для векторных полей, соответствующих столбцам матрицы при управлении. Однако полного описания обобщенных решений в общем случае до сих пор не получено.

В качестве перспективного направления для явного описания обобщенных решений рассматривается использование функций с ограниченной p-вариацией (p>1) (в смысле Н. Винера). В докладе будет рассмотрена некоторая связь между теорией импульсного управления и современной теорией динамических систем, управляемых сигналами низкой регулярности (развивается в рамках теории грубых путей (rough paths), инициированной Терри Лионсом в 1994 году).