М.И.Зеликин.

ПРОГРАММА КУРСА

Вариационное исчисление и оптимальное управление

1. Определения дифференцируемости отображений. Теорема о суперпозиции. (А.Т.Ф. стр.137-141, 144-147)

2. Теорема о среднем. Достаточное условие гладкости отображения. (А.Т.Ф. стр.147-150)

3. Теорема Люстерника. Теорема о касательном пространстве. (А.Г.Т. стр. 33-35)

4. Формулировка теорем отделимости. Лемма о нетривиальности аннулятора. Лемма о

правом обратном. (А.Т.Ф. стр. 174-183)

5. Лемма о замкнутости образа. Лемма об аннуляторе ядра. (А.Т.Ф. стр.129-130)

6. Правило множителей Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенства. (А.Т.Ф. стр. 253-255)

7. Теорема Куна-Таккера. (А.Т.Ф. стр. 52-56)

8. Простейшая задача вариационного исчисления. Лемма

Дю-Буа-Раймона. Уравнения Эйлера. (Зел. стр. 55-57; А.Т.Ф. стр. 58-63;

Г.Ф. стр.14-22; З. стр. 34-35)

9. Интегралы уравнений Эйлера. Уравнения геодезических.

(Зел. стр. 59-62; А.Т.Ф. стр. 63-64; Д.Н.Ф. стр.292-294; З. стр. 39)

10. Формула вариации интегрального функционала с подвижными концами. Условия трансверсальности. Задача Больца.

(Зел. стр. 70-74; А.Т.Ф. стр. 64-66; Г.Ф. стр.56-63)

11. Канонические переменные. Преобразование Лежандра-Юнга. Уравнение Гамильтона-Якоби. (Зел. стр. 64-70, 80-81;

А.Т.Ф. стр. 224-226, 386, 377-379; А. стр.219-220; Г.Ф. стр.71-74)

12. Сильный и слабый экстремум.

Необходимое условие Вейерштрасса. Условие Вейерштрасса-Эрдмана.

(Зел. стр. 76-80, 112-114; А.Т.Ф. стр.69, 74-77; Г.Ф. стр.63-65)

13. Необходимое условие Лежандра. Необходимое условие Якоби. (Зел. стр. 87-93; А.Т.Ф. стр. 373-379)

14. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Теория поля.

(Зел. стр. 125-134; А.Т.Ф. стр. 377-386; А. стр. 200-205)

15. Достаточные условия сильного и слабого минимума.

(Зел. стр. 116-122, 134-140; А.Т.Ф. стр. 386-401)

- 2 -

16. Уравнение Эйлера для задачи минимизации кратного интеграла. (Зел-2. стр. 266-268)

17. Дифференциальные уравнения с кусочно-гладкой правой частью. Уравнения в вариациях. Сопряженные системы.

(Зел. стр. 35-38; А.Т.Ф. стр.184-207)

18. Вывод принципа максимума для задачи со свободным концом. Формулировка принципа максимума в общем случае. (А.Т.Ф. стр. 87-94, 184-207)

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Задача о брахистохроне (Зел. стр. 54, 58; А.Т.Ф. стр.112-114)

Геодезические на сфере (Зел. стр. 59-60)

Геодезические на полуплоскости Пуанкаре (Зел. стр. 60-61;

А.Т.Ф. стр. 112-114)

Минимальная поверхность вращения (Зел. стр. 76-77;

А.Т.Ф. стр. 112-114)

Классическая изопериметрическая задача (А.Т.Ф. стр.107-111)

Простейшая задача быстродействия (Зел. стр. 16-19;

А.Т.Ф. стр. 103-107)

Задача Аполония (А.Т.Ф. стр. 96-98)

Задача Ньютона (А.Т.Ф. стр. 99-102)

ЛИТЕРАТУРА

1. А.Т.Ф. - В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин

Оптимальное управление

2. А.Г.Т. - В.М.Алексеев, Э.М.Галеев, В.М.Тихомиров

Сборник задач по оптимизации.

3. Г.Ф. - И.М.Гельфанд, С.В.Фомин

Вариационное исчисление.

4. А. - В.И.Арнольд

Классическая механика.

5. Д.Н.Ф. - Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко

Современная геометрия.

6. Зел. - М.И.Зеликин

Оптимальное управление и вариационное исчисление.

7. Зел-2. - М.И.Зеликин

Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении.