"Теория экстремальных задач" (доц. В.Б. Демидович)

 Глава 1. Предварительные сведения по функциональному анализу.

 Линейные пространства и их подпространства.

Линейное пространство. Алгебраический базис (базис Хаммеля) и размерность линейного пространства. Нормированное пространство. Открытые и замкнутые множества в нормированном пространстве. B-пространство. Линейные подпространства для линейного пространства, для нормированного пространства и для B-пространства.

 Основные понятия теории линейных пространств.

Прямая сумма линейных пространств. Прямое произведение линейных пространств. Естественная нормировка для прямого произведения нормированных пространств. О банаховости (при естественной нормировке) прямого произведения B-пространств. Фактор-пространство при факторизации линейного пространства по своему подпространству.

 Некоторые дополнительные понятия для нормированных пространств.

Компактное множество в нормированном пространстве. Плотное множество в нормированном пространстве. Сепарабельность нормированного пространства. Гомеоморфность двух нормированных пространств. Изоморфность двух нормированных пространств. Изометричность двух нормированных пространств.

 Линейные функционалы в линейных пространствах.

Линейный функционал в линейном пространстве. Алгебраические операции для них. Непрерывный линейный функционал в нормированном пространстве и его естественная нормировка. "Верхняя" и "нижняя" константы ограниченности для линейных функционалов в нормированном пространстве. Понятие "гиперплоскости" в нормированном пространстве. Формула расстояния от точки до гиперплоскости в B-пространстве. Теорема Хана-Банаха для непрерывного линейного функционала в нормированном пространстве. Алгебраическое сопряженное пространство к линейному пространству. Сопряженное пространство к нормированному пространству. Левый и правый аннуляторы для B-пространства.

 Линейные операторы в линейных пространствах.

Линейный оператор в линейном пространстве. Алгебраические операции для них. Непрерывный линейный оператор в нормированном пространстве и его естественная нормировка. "Верхняя" и "нижняя" константы ограниченности для линейных операторов в нормированном пространстве. О сходящихся последовательностях непрерывных линейных операторов в нормированном пространстве: сходимость, сильная сходимость, слабая сходимость. Критерий Банаха-Штейнхауза для сходимости последовательности непрерывных линейных операторов в B-пространстве. Сопряженный оператор к непрерывному линейному оператору в нормированном пространстве.

 Об обратимости линейных операторов в линейном пространстве.

Обратный оператор для линейного оператора в линейном пространстве. Условия "эпиморфности" и "мономорфности" как критерий обратимости линейного оператора в линейном пространстве. Условие непрерывности для обратного (линейного) оператора к непрерывному линейному оператору в нормированном пространстве. Теорема Банаха о непрерывности обратного (линейного) оператора к непрерывному линейному оператору в B-пространстве. Об обратимости в B-пространстве непрерывных линейных операторов, "близких" к обратимому непрерывному линейному оператору. Левый обратный и правый обратный операторы для линейного оператора в линейном пространстве. Свойства "левых обратных" и "правых обратных" операторов к линейным операторам в линейных пространствах, в нормированных пространствах и в B-пространствах.

 Об "усилении" и "ослаблении" понятия "нормированное пространство".

Предгильбертовы пространства. Определение предгильбертова пространства "специальной нормируемостью" линейного пространства при введении в него "скалярного произведения". Простейшие факты для предгильбертовых пространств. H-пространства и дополнительные сведения о них. E-пространства (т.е. конечномерные евклидовы пространства). Топологические пространства. Определение топологического пространства. Простейшие факты про топологические пространства. Дополнительные сведения из теории топологических пространств. Отделимость и хаусдорфовы пространства. Метризуемость и метрические пространства. Линейность и линейные метрические пространства. Нормируемость линейных метрических пространств.

 Глава 2. Дифференциальное исчисление в нормированных пространствах.

 Основные понятия в отношении дифференцируемости 1-го порядка для операторов в нормированном пространстве: дифференцируемость, строгая дифференцируемость, слабая дифференцируемость, первая вариация.

* Простейшие свойства дифференцируемых операторов.

 О дифференцируемости (строгой дифференцируемости) суперпозиции операторов.

 О формуле конечных приращений для дифференцируемых (слабо дифференцируемых) операторов. Дифференцируемость операторов как следствие существования у них непрерывной слабой производной.

 О строгой дифференцируемости операторов с непрерывными частными производными и о выражении соответствующего "полного дифференциала".

 Касательные и полукасательные вектора к точкам множеств из нормированного пространства.

 Основные понятия в отношении дифференцируемости 2-го порядка для операторов в нормированном пространстве.

 Непрерывные билинейные операторы в нормированных пространствах.

 Интерпретация "значений 2-ых производных" и 2-ых дифференциалов с помощью билинейных и квадратичных форм.

 О дифференцируемости (1-го и 2-го порядка) для: а) конечномерных функций от многих переменных, б) интегральных функционалов.

 Глава 3*. Элементы выпуклого анализа в нормированных пространствах.

 Сведения о множествах.

 Аффинные многообразия, конические многообразия и выпуклые многообразия.

 Аффинные комбинации, конические комбинации и выпуклые комбинации для элементов нормированного пространства.

 Аффинные оболочки, конические оболочки и выпуклые оболочки для множеств нормированного пространства.

 Размерность аффинного, конического и выпуклого многообразий.

 Аффинное, коническое и выпуклое гипермногообразия в нормированном пространстве и их интерпретация понятиями гиперплоскость, полупространство, самого пространства.

 О задании аффинного, конического и выпуклого многообразий соответственно аффинной, конической и выпуклой оболочками от "базисных точек" рассматриваемых множеств.

 Понятие "размерности" для произвольного множества нормированного пространства.

 Заключительные замечания: а) о специальных операциях для выпуклых множеств (выпуклое исчисление), б) о возможности дальнейшей "детализации" выпуклых множеств, в) о топологических свойствах выпуклых множеств.

 Сведения о функциях.

 Характерные множества для функций со значениями на "расширенной" числовой оси: верхняя и нижняя эффективные области, эпиграф и гипограф. Понятие "собственной" функции.

 Полунепрерывность и полукомпактность собственных функций.

 Классификация собственных функций, основанная на понятиях аффинности, конусности и выпуклости.

 Выпуклые и вогнутые собственные функции. Возможность сведения изучения вогнутых собственных функций к соответствующим выпуклым функциям.

 Свойства выпуклых собственных функций.

 Признаки выпуклости для дифференцируемых собственных функций.

 1-ая сопряженная и 2-ая сопряженная функция для собственной функции. Основные свойства сопряженных функций.

 О совпадении собственной функции со своей 2-ой сопряженной как критерии ее выпуклости и полунепрерывности снизу.

 Опорные функции для собственной функции. Критерий Минковского для выпуклости и полунепрерывности снизу собственной функции.

 Субградиенты и субдифференциал собственной функции.

 Сведения из субдифференциального исчисления: а). выпуклость и замкнутость произвольного субдифференциала, б) наличие специальных формул и правил субдифференцирования, в) о существовании критериев принадлежности субдифференциалу элементов сопряженного пространства, г) субдифференцируемость выпуклых функций.

 Заключительные замечания о множествах и функциях, связанных с понятием "выпуклость".

 Глава 4. Специальные сведения по абстрактному анализу, являющиеся базой для общей теории экстремальных задач.

 Общий вид непрерывного линейного функционала в прямом произведении нормированных пространств.

 О банаховости фактор-пространства при факторизации В-пространства по своему линейному подпространству.

 О нетривиальности правого аннулятора для собственного подпространства из В-пространства.

 О правом обратном операторе для эпиморфного непрерывного линейного оператора в В-пространстве.

 О замкнутости образа непрерывного линейного оператора в прямом произведении В-пространств.

 О правом аннуляторе ядра для эпиморфного непрерывного линейного оператора в В-пространстве.

 Обобщенная теорема для неявной функции с параметром.

 Теорема Люстерника о касательном подпространстве в В-пространстве.

 Глава 5. Аналитические принципы теории экстремальных задач.

 Основные понятия теории экстремальных задач. Выделение четырех основных типов экстремальных задач: а) выпуклые экстремальные задачи, б) гладкие экстремальные задачи, в) экстремальные задачи вариационного исчисления, г) экстремальные задачи с управлением. Идея общего принципа Лагранжа для анализа таких задач. Возможность сведения задач "на максимизацию" к соответствующим задачам "минимизации".

 Выпуклые экстремальные задачи.

 Выпуклая экстремальная задача без ограничений. Критерий минимизации.

 Выпуклая экстремальная задача с ограничениями стандартного типа (типа равенств и неравенств). Теорема Куна-Таккера-Слейтера о необходимых и о достаточных условиях минимизации.

 Гладкие экстремальные задачи.

 Гладкая экстремальная задача без ограничений. Необходимые условия 1-го порядка для минимизации. О существовании соответствующих условий 2-го порядка (как необходимых, так и достаточных) и об эффективной возможности их применения в конечномерном случае, используя матрицу Гесса и критерий Сильвестра.

 Гладкая экстремальная задача с ограничениями стандартного типа (типа равенств и неравенств). Необходимые условия 1-го порядка для минимизации. О существовании соответствующих условий 2-го порядка (как необходимых, так и достаточных), относящихся к функции Лагранжа, и об эффективной возможности их применения в конечномерном случае, используя матрицу Гесса и критерий Сильвестра.

 Экстремальные задачи вариационного исчисления.

 Экстремальная задача вариационного исчисления без ограничений. Необходимые условия 1-го порядка для минимизации. О существовании соответствующих условий 2-го порядка (как необходимых, так и достаточных) и об эффективной возможности их применения, используя требования Лежандра, Якоби, а также "нужной" определенности возникающей квадратичной формы.

 Экстремальная задача вариационного исчисления с ограничениями стандартного типа (типа равенств и неравенств). Необходимые условия 1-го порядка для минимизации. О существовании соответствующих условий 2-го порядка (как необходимых, так и достаточных), относящихся к функции Лагранжа, и об эффективной возможности их применения, используя требования Лежандра, Якоби, а также "нужной" определенности возникающей квадратичной формы.

 Экстремальные задачи с управлением.

 Экстремальная задача с управлением стандартного типа (с ограничениями типа равенств, неравенств, включения и дифференциальной связи). Формулировка необходимых условий минимизации. Замечание о существовании для таких задач: а) достаточных условий минимизации, б) "понтрягинского подхода", основанного на введении для них понятия "обобщенного гамильтониана" (функции Понтрягина).

 Обоснование необходимых условий минимизации для экстремальной задачи с управлением стандартного типа в "частном случае": а) в скалярной ситуации с фиксированными концами интегрирования, б) при отсутствии терминального члена у минимизируемого функционала, в) отсутствии ограничений-неравенств и наличии лишь простейшего краевого условия на левом конце интегрирования (т.е. "со свободным значением на правом конце интегрирования"). Замечание о применении понятия "пакета иголок" для обоснования соответствующих условий минимизации в "общем случае".

 Глава 6. О приближенном решении экстремальных задач.

 В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. "Оптимальное управление", М., "Наука", 1979.

 Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. "Краткий курс теории экстремальных задач", М., Изд. МГУ, 1989.

 В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. "Сборник задач по оптимизации", М., "Наука", 1984.

 Э.М. Галеев. "Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению", М., Изд. мех-мат факультета МГУ, 1996.

 В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров. "Принцип Лагранжа и задачи оптимального управления: часть I, М., Изд. МГУ, 1979.

 В.М. Тихомиров. "Принцип Лагранжа и задачи оптимального управления: часть II", М., Изд. МГУ, 1982.

 А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. "Элементы теории функций и функционального анализа", М., "Наука", 1981.

 В.А. Треногин. "Функциональный анализ", М., "Наука", 1980.

 У. Рудин. "Функциональный анализ", М., "Мир", 1975.