"Вариационное исчисление и оптимальное управление" (проф. Н.П. Осмоловский)

 Простейшая задача вариационного исчисления. Слабый минимум. Первая вариация интегрального функционала.

 Лемма Дюбуа-Реймона и ее абстрактный аналог.

 Уравнение Эйлера.

 Сильный минимум. Игольчатые вариации. Условие Вейерштрасса.

 Лемма о правом обратном отображении для линейного сюръективного оператора.

 Теорема Банаха-Шаудера об открытом отображении.

 Накрывание с константой a на открытом множестве полного метрического пространства. Теорема о накрывании для линейного оператора.

 Теорема Милютина о накрывании для суммы двух операторов: накрывающего с константой a и стягивающего с константой b.

 Метрическая регулярность нелинейного отображения и ее связь с накрыванием.

 Производная Фреше. Непрерывная дифференцируемость по Фреше в точке и строгая дифференцируемость. Формулировка теоремы о среднем для операторов.

 Накрывание и метрическая регулярность для строго дифференцируемого оператора.

 Оценка расстояния до нулевого уровня нелинейного оператора.

 Теорема Люстерника о касательном многообразии.

 Теорема об отделимости двух выпуклых множеств.

 Теорема Дубовицкого-Милютина об отделимости конечного числа выпуклых множеств. Следствие для конусов.

 Лемма о нетривиальности аннулятора подпространства.

 Лемма о замкнутости образа линейного оператора, действующего в произведение пространств.

 Лемма об аннуляторе ядра линейного сюръективного оператора.

 Производная по направлению, производная Гато. Касательный конус к множеству в точке. Необходимые условия локального минимума функционала на множестве.

 Правило множителей Лагранжа в задаче с ограничением типа равенства.

 Лемма о непересечении аппроксимаций в точке минимума в гладкой задаче с ограничениями типа равенства и неравенства.

 Общий вид линейного функционала, неотрицательного на конусе, являющемся полупространством.

 Правило множителей Лагранжа в гладкой задаче с ограничениями типа равенства и типа неравенства.

 Канонические задачи оптимального управления A и B. Связь между ними.

 Правая обратная к монотонной кусочно-линейной функции на отрезке. О подстановке правой обратной в измеримую ограниченную функцию (измеримость функции, полученной в результате подстановки).

 О подстановке правой обратной к монотонной кусочно-линейной функции t(τ) в липшицеву функцию x(τ), удовлетворяющую уравнению dx(τ)/dτ = dt(τ)/dτ f(τ).

 Управляемая система и расширенная управляемая система, связь между ними.

 Связь между канонической задачей B и ее расширением - задачей B.

 Формулировка теоремы о неявной функции для банаховых пространств.

 Нелинейный оператор, определяемый задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Производная Фреше этого оператора. Система уравнений в вариациях. Следствие для конечномерного оператора P(x₀,z) = (x₀, x(τ₁)) концевых значений.

 Формулировка принципа максимума в канонической задаче B.

 Индекс Θ, функции v^θ, t^θ, x^θ, u^θ на [τ₀, τ₁], их связь с оптимальным решением ( x, u ) на [ t₀, t₁ ] задачи B.

 Оптимальность траектории ( t^θ, x^θ, u^θ, v^θ ), τ из [τ₀, τ₁], в задаче B.

 Конечномерная задача B^θ индекса Θ и ее оптимальное решение ( x₀, z, p).

 Условия стационарности в конечномерной задаче B^θ. Частные производные конечномерного оператора P(x₀,z) = (x₀, x(τ₁)) по x₀ и z.

 Анализ условий стационарности в конечномерной задаче B^θ. Вывод сопряженного уравнения и условий трансверсальности (в τ) в качестве следствия из этих условий.

 Анализ условий стационарности в конечномерной задаче B^θ. Получение интегральных равенств и неравенств (в τ) в качестве следствия этих условий.

 Переход от независимой переменной τ к переменной t в условиях принципа максимума индекса Θ.

 Конечномерный компакт M^θ. Лемма о равенстве нулю измеримой функции.

 Организация принципов максимума индексов Θ. Непустота пересечения компактов M^θ по Θ. Завершение доказательства принципа максимума в канонической задаче B.

 Формулировка принципа максимума в канонической задаче A и его вывод с помощью принципа максимума задачи B.

 Лемма о равенстве $\max\limits_{u\in K} h(t,u)=\max\limits_{u\in U} h(t,u)$ на отрезке [t₀, t₁] (где K - компакт, U - замкнутое множество) и лемма о непрерывности функции $\max\limits_{u\in K} h(t,u)$.

 Лемма о липшицевости функции $\max\limits_{u\in K} h(t,u)$ (где K - компакт) на отрезке [t₀, t₁] и лемма о производной этой функции по t.

 Понятия экстремали и гамильтониана ${\cal H}$ управляемой системы. Множество $\mbox{dom } {\cal H}$. Теорема о том, что для любой экстремали $(t,x(t),\psi_x(t))\in \mbox{dom } {\cal H}$ всюду на [t₀, t₁].

 Липшицевость функции ${\cal H}(t,x(t),\psi_x(t))$; уравнение $\frac{d}{dt}{\cal H}=H_t$; эквивалентное определение экстремали, не включающее компоненту ψ_t.

 Уточнение условий принципа максимума (ПМ) в канонической задаче A. Сопряженное уравнение на компоненту ψ_t как следствие остальных условий ПМ. Формулировка ПМ, не содержащая этой компоненты.

 Каноническая задача A на фиксированном отрезке времени. Условия принципа максимума для нее. Автономный случай.

 Задача с интегральным функционалом на фиксированном отрезке времени. Принцип максимума для нее.

 Принцип максимума в задаче быстродействия.

 Понятие понтрягинского минимума.

Конспект и электронный вариант лекций.