Кафедра Общих проблем управления проводит заочную олимпиаду по «экстремальным задачам» для студентов высших учебных заведений. Для участия приглашаются все желающие.

Скачать файл с задачами

1. Как нужно поставить парус, чтобы максимально быстро двигаться в северном направлении при постоянном ветре с севера? Считать парус плоским, а движение корабля параллельным линии киля.
2. Найти точку максимума на отрезке $[0;8]$ решения уравнения
   \[
   \ddot x(t)-tx(t)=0
   \]
   с начальными условиями $x(0)=0$ и $\dot x(0)=1$ (здесь и далее $\dot x(t) = \frac{d}{dt}x(t)$). Показать, что максимальное значение больше 2015.
3. Доказать, что при любом $T \in (0,\pi)\;$ неравенство
   \[
   \mathrm{ctg} T\cdot x^2(0)\; + \int_0^T x^2(t) \,dt \; \le\; \int_0^T \dot x^2(t)\,dt
   \]
   справедливо для любой функции $\,x(\cdot)\in W^1_2[0,T]\;$ с условием $x(T)=0.$
4. Плоскость $x,y$ разделена кривой $y = \frac12 b\,x^2$ на две зоны. Скорость света в верхней зоне равна $c_1\,,$ а в нижней $c_2\,.$ Свет идет из точки $(0,\,a_1)$ в точку $(0,\, -a_2)$ (оба $a_1,\, a_2 >0)$ по двум отрезкам, преломляясь в некоторой точке $(x,y)$ на указанной кривой. Описать все наборы $a_1,\, a_2,\, c_1,\, c_2,\, b,$ при которых точка $(x_0,\, y_0)=(0,0)$ дает локальный минимум времени движения света.
5. Найдите многогранник наибольшего объема, имеющий 5 вершин и лежащий в единичном кубе.
6. Показать, что для любой функции $u(\cdot) \in L_2[0,\infty)$ решение уравнения
   \[
   \dot x(t) = -x(t) + u(t)\quad \mbox{ с начальным условием }\quad x(0)=0
   \]
   также принадлежит $L_2[0,\infty)$. Таким образом, определен линейный оператор $u \mapsto x$ из пространства $L_2[0,\infty)$ в себя. Найти его норму и спектр.

Решения (например, фото рукописного текста) присылать на адрес кафедры ОПУ msu.opu@gmail.com до 26 апреля 2015 г. Так же просьба указывать

• Фамилию, имя и отчество
• Название ВУЗа/факультета и курс
• Физический почтовый адрес с индексом