То доказательство, о котором пойдет речь, нельзя назвать новым: большинство его элементов встречались и раньше у разных авторов. Тем не менее, мне кажется, мне удалось собрать воедино несколько идей и добавить пару своих так, что получилось не очень тяжелое доказательство для задачи с неравенствами с ясной идейной линией, которое можно излагать для измеримых управлений студентам.

Итак, в предлагаемом доказательстве

1) Не требуется кусочная непрерывность управления
2) Не требуется строгая (и уж тем более непрерывная) дифференцируемость по ширине иголки
3) Не требуются пакеты иголок с иголками в одной точке. Поэтому, фактически, можно обойтись леммой об одной иголке и индукцией.
4) Не используется лемма о центрированном семействе, которая приводит к континуальному применению теоремы отделимости (или континуальному применению принципа Лагранжа). Вместо этого доказательство проводится от противного.

В том числе, из доказанной теоремы следует принцип максимума в геометрической форме для траекториях, выходящих на границу множества достижимости.