Рассмотрим классический плоский математический маятник в поле силы тяжести. Предположим, что это управляемая система, где управление задается произвольной автономной (не зависящей явно от времени) гладкой функцией обобщенных сил. Несложно показать, что в такой системе не может существовать глобально асимптотически устойчивого положения равновесия. Это следует из того, что окружность не может быть стянута в точку.

Тем не менее, в задаче о стабилизации перевернутого маятника (например, посредством горизонтального движения точки подвеса) естественно рассматривать и случай, когда в системе присутствует ограничение, не позволяющее маятнику находиться в положениях ниже горизонтальной плоскости опоры. В таком случае пространство возможных положений маятника становится стягиваемо. Также можно считать, что управление может явно зависеть от времени и маятник может ударяться о плоскость опоры (модели удара могут быть различными, в том числе и нарушающими непрерывную зависимость от начальных данных). Возможна ли глобальная стабилизация в таком случае?

Мы покажем, что ответ на этот вопрос отрицательный, а также рассмотрим обобщения этой задачи на случаи систем с большим числом степеней свободы и покажем связь этой задачи с задачей о вынужденных колебаниях перевернутого маятника и других маятниковых систем.