Знаменитая теорема Н.Н. Боголюбова (1930 г.) утверждает, что если в простейшей задаче вариационного исчисления подынтегральную функцию заменить на ее вторую сопряженную по аргументу, символизирующему производную, то нижние грани функционалов в полученной задаче и исходной совпадают. Позднее Р.В. Гамкрелидзе (1962 г.) сопоставил задаче оптимального управления некую выпуклую задачу, которая позволяет, в частности, построить последовательность допустимых траекторий в исходной задаче, сходящуюся к нижней грани минимизируемого функционала. И то и другое суть расширения исходной задачи, которые устроены лучше: обладают свойствами выпуклости и у них есть решения. Мы рассматриваем задачу оптимального управления и сопоставляем ей «овыпукления» по Боголюбову и Гамкрелидзе. Нас интересуют взаимосвязями исходной задачи с данными овыпуклениями. Основной результат состоит в том, что при выполнении определенных условий регулярности (которые являются существенными) значения всех трех задач совпадают. Получен ряд следствий, в частности, получено обобщение теоремы Боголюбова на задачу оптимального управления, когда дифференциальная связь линейна по управлению. Классический результат есть непосредственное следствие этого обобщения.