Исследуется задача быстродействия на группе движений плоскости с управлением в полукруге. Рассматриваемая управляемая система задает модель машины на плоскости, которая может двигаться вперед и вращаться на месте. Оптимальные по заданной внешней стоимости траектории такой системы используются в обработке изображений для поиска выделяющихся кривых. В частности, такие траектории используются в анализе медицинских изображений при поиске сосудов на фото сетчатки глаза человека. Задача представляет интерес в геометрической теории управления, как модельный пример, в котором множество значений управляющих параметров содержит ноль на границе. В работе изучен вопрос управляемости и существования оптимальных траекторий. На основе анализа гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина найден явный вид экстремальных управлений и траекторий. Частично исследован вопрос оптимальности экстремалей. Описана структура оптимального синтеза.