Несколько задач теории линейных динамических систем приводят к одному и тому же вопросу: дано линейное дифференциальное уравнение с постоянной матрицей $x'(t) = A x(t)$, $x(0) = x_0$, найти момент времени $T$, когда его траектория $x(t)$ зайдет внутрь своей (симметризованной) выпуклой оболочки. В этом случае весь "хвост" $\{x(t): t\ge T\}$ уже не покинет ее пределов. Ответ зависит только от спектра матрицы $A$ и дается в терминах экспонциальных полиномов наилучшего приближения. Это -- полиномы не по степеням переменной $t$, а по системе комплексных экспонент. Эта система не является чебышевской, и про приближения такими системами практически ничего не известно. Тем не менее, для них удается определить понятие "обобщенного альтернанса" и построить эффективный метод вычисления ближайшего полинома. Затем мы рассмотрим приложение к устойчивости линейной системы с переключениями: $x'(t) = A(t)x(t)$, где матрица $A(t)$ является управляемым параметром, принимающим значения на компактном множестве $U$. Будет показано, что если система устойчива при условии, что длины всех интервалов переключения не превосходят $T$, то она останется таковой без данного ограничения.