Какие причины побуждают решать задачи на максимум и минимум? Интерес к экстремальным задачам, т. е. задачам на максимум и минимум проявился уже на заре развития математики, и основными стимулами были любознательность и стремление к совершенству.

Среди наиболее ранних, точно решенных задач — так называемая изопериметрическая задача — задача о форме кривой заданной длины, охватывающей наибольшую площадь (Ответ в ней приводил в своих сочинениях еще Аристотель (IV в. до н. э.) и задача о форме поверхности заданной площади, охватывающей наибольший объем. Ответы на эти задачи для мыслителей Древней Греции были символами совершенства человеческого разума. Крупнейшие их представители: Евклид, Архимед и Аполлоний ставили и решали различные геометрические задачи на экстремум. Задача о параллелограмме наибольшей площади, который можно вписать в треугольник приводится в “Началах” Евклида (III в. до н. э.); задача о шаровом сегменте максимального объема при заданной площади шаровой части поверхности этого сегмента содержится в сочинениях Архимеда (тоже III в. до н. э.); задача о минимальном расстоянии от точки плоскости до эллипса и о нормалях к эллипсу из произвольной точки плоскости была поставлена и решена Аполлонием (III–II в. до н. э.) в его знаменитых “Кониках”.

Важная причина, побуждающая интерес к исследованию экстремальных задач, связана с тем, что многие законы природы, как оказалось, подчинены экстpемальным пpинципам, т. е. многие природные процессы (неким загадочным образом) являются решениями задач на максимум и минимум. Л. Эйлер по этому поводу высказался так: “В миpе не пpоисходит ничего, в чем не был бы виденсмысл какого-нибудь максимума или минимума”.

Первый экстремальный принцип в естествознании выдвинул Пьер Ферма (1662). Согласно этому принципу свет “избирает” такую траекторию, вдоль которой время, затрачиваемое им на преодоление пути от одной точки до другой, минимально. Законы преломления света, установленные экспериментально, находятся, исходя из этого принципа, как решения экстремальных задач. Отправляясь от принципа Ферма, И. Бернулли в 1696 году решил так называемую задачу о брахистохроне — о кривой наибыстрейшего ската, т. е. задачу о форме кривой, соединяющей две точки в вертикальной плоскости, вдоль которой тело под действием силы тяжести без трения проходит путь от одной точки до другой за кратчайшее время (постановка такой задачи возможно была навеяна более ранними размышлениями Галилея на эту тему). Историю развития вариационного исчисления принято отсчитывать именно с этого времени — года решения задачи о брахистохроне.

Нельзя не назвать также и пpагматические пpичины, по которым приходится решать экстремальные задачи. Людям свойственно наилучшим образом использовать ресурсы, находящиеся в их распоряжении, и потому экстремальные задач естественно возникают при управлении различными процессами, в экономике, инженерии.

Первой задачей такого рода была аэродинамическая задача Ньютона о форме тела вращения, испытывающем наименьшее сопротивление в некоей “редкой среде”, поставленная и решенная Ньютоном в его “Математических началах натуральной философии” (1687 г.). К числу экстремальных задач, возникающих в экономике и теории управления, относятся, например, транспортная задача (сформулированная в сороковые годы прошлого века) о наилучшем способе транспортировки продуктов со складов в магазины и простейшая задача о быстродействии, формализующая, в частности, задачу о наименьшем времени движения лифта в угольной шахте. Эта задача, также сформулированная в сороковые годы, послужила стимулом для создания теории оптимального управления. Считалось, что эта теория родилась в пятидесятые годы прошлого века, но когда она, в основном, сложилась, выяснилось, что первой задачей оптимального управления была именно аэродинамическая задача Ньютона.