Задачи управления средним полем возникают как математические модели при исследовании поведения большого числа одинаковых агентов, преследующих общую цель. При этом состояние системы с динамикой среднего поля задается некоторой вероятностной мерой. Это приводит к задачам управления на пространстве, которое является лишь метрическим.

В теории управления средним полем имеется несколько формализаций. Во-первых, это лагранжев подход, в рамках которого каждый агент индексируется элементом некоторого заданного вероятностного пространства. Подход Канторовича рассматривает задачи управления средним полем на основе распределения траекторий. Наконец, эйлеров подход основан на анализе нелокального уравнения неразрывности.

В настоящем докладе мы прежде всего выведем принцип максимума Понтрягина для общей задачи управления средним полем со свободным правым концом в рамках лагранжева подхода. На основе этого результата мы получим принцип максимума Понтрягина в форме Канторовича и Эйлера. Общий результат будет проиллюстрирован на примере линейно квадратичного регулятора с показателем, учитывающим взаимодействие бесконечного числа агентов.