В спецкурсе приводятся с доказательствами необходимые и достаточные условия экстремума 2-го порядка в задачах с ограничениями типа равенств, с ограничениями типа равенств и неравенств в линейных нормированных пространствах. Рассматривается принцип максимума в задачах оптимального управления в общем случае. Для простейшей задачи вариационного исчисления, а также для задач Больца, изопериметрической задачи, задачи со старшими производными приводятся с доказательствами необходимые и достаточные условия экстремума 2-го порядка.